几何
七至九年级
多边形内角和计算器
输入边数 n,自动给出内角和 / 每个内角(正多边形)/ 对角线条数。比网上同类多做的:附带 SVG 示意图 + 边数—角度关系曲线,直观理解"为什么外角和总是 360°"。
任意边数
外角和 360°
输入边数 n
内角和
—
每个内角(正多边形)
—
对角线条数
—
外角和(无论 n = ?)
360°
正 n 边形示意图
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这个工具解决什么问题
1. 求内角和
公式 (n-2) × 180°,湖北中考常考填空 / 选择。
2. 正多边形每个内角
公式 (n-2) × 180° / n。验证"正三角形每个内角 = 60°"这类常识。
3. 对角线条数
公式 n(n-3)/2。常考"过某个顶点可画几条对角线"。
4. 外角和恒为 360°
无论几边形,外角和都是 360°;工具显式提示,避免考场上忘掉这个事实。
怎么解读结果
① 内角和公式
S = (n − 2) × 180°
推导:把多边形从某顶点切出 (n-2) 个三角形,每个三角形内角和 180°。
② 每个内角(正多边形)
α = (n − 2) × 180° / n
每个内角都相等,所以平均一下就是 α。
③ 对角线条数
D = n(n − 3) / 2
每个顶点可以向其他 n-3 个顶点画对角线;再除以 2 因为一条对角线对应 2 个顶点。
④ 外角和恒为 360°
沿多边形走一圈,转过的角度总和 = 360°,与 n 无关。这是九年级几何的"奇迹"。
使用注意事项 & 局限
n ≥ 3
n=1, 2 不构成多边形,工具限制 n ≥ 3。
每个内角仅限正多边形
一般多边形每个内角可能不同,只给"内角和"。
常见问题
Q:为什么外角和总是 360°?
想象你沿多边形走一圈,每到顶点就转弯,转弯角度 = 外角;走完一圈刚好转回原方向,总和 = 360°。
Q:三角形有没有对角线?
没有对角线——三角形任意两顶点都已经是边,无法画"不相邻顶点"的连线。代入公式:n(n-3)/2 = 3·0/2 = 0,验证。
Q:正六边形每个内角 = ?
(6-2) × 180 / 6 = 720 / 6 = 120°。正六边形瓷砖密铺就用这个角度。
Q:多边形内角和可以是负的吗?
凸多边形内角和一定是正的;凹多边形内角和仍是 (n-2) × 180°,但某些"内角"按定义是 > 180° 的。
Q:对角线条数公式为什么除以 2?
每条对角线连接 2 个顶点,如果从每个顶点计数(n-3 条),一条对角线被算了 2 次。