几何
八年级上 · 必考
勾股定理 a² + b² = c² 验证器
输入三边判断是否为直角三角形、已知两边求第三边;额外提供长方体对角线(3D 勾股)、20 组常见勾股数组速查表。比网上同类多做的:不只是验证,而是给"为什么是 / 不是"的视觉化解释,以及网格验证法的 SVG 演示。
2D + 3D
20 组勾股数组
测验模式
2D 平面模式
3D 长方体对角线
2D 判定结果
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3D 长方体对角线
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20 组常见勾股数组速查 & 测验
湖北中考直接考"哪些是勾股数"的频率不高,但做几何题时这些组数能瞬间省掉开方计算。点下面的卡片自动填入工具。
测验模式 (随机抽一组,你来答第三边)
已知两边
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这个工具解决什么问题
1. 判断是否为直角三角形
给三边判断是不是直角三角形(看 a²+b² 是否等于 c²),工具还顺手告诉你"如果是,哪个角是直角"。
2. 求第三边
已知两边和"是直角三角形"条件,求第三边。工具自动判断是求 c 还是 b。
3. 长方体 / 正方体对角线
3D 勾股:长方体体对角线 = √(a² + b² + c²);底面对角线 = √(a² + b²)。这是九年级重难点。
4. 实际应用题
梯子靠墙、河流宽度、电视尺寸、立方体展开求最短路径——都可以套勾股定理。
怎么解读结果
① "是 / 不是" 怎么用
如果工具判"是直角三角形",你需要在答题时写明"因为 a² + b² = c², 由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形"——不能只写数字。
② "不是直角" 还有用吗
如果 a² + b² > c²,说明是锐角三角形;a² + b² < c²,说明是钝角三角形。这是课本第 17 章结论,工具顺手给出。
③ 3D 公式怎么记
体对角线 = √(长² + 宽² + 高²),把"底面对角线"作为新的一条直角边,然后再做一次勾股即可。工具一次性算给你看。
使用注意事项 & 局限
三边必须为正数
工具会自动把负数 / 0 视为非法输入。三角形边长必须为正。
浮点比较容差
3² + 4² = 5² 是 25 = 25,但 7² + 9² 可能因为输入有 0.0001 偏差导致不严格相等。工具容差 1e-6。
不替代画图
几何题先画图、再列式,工具只是辅助。最后一步"答"还是要手写。
3D 只算对角线
工具不计算侧面积、表面积——那是另一类问题(展开图)。
常见问题
Q:为什么工具要"已知 a, b 求 c"单独一个按钮?
因为求 c 和判定三边的算法不同——判定是 a²+b² 与 c² 比对;求 c 是直接 √(a²+b²)。一个按钮做完两步会让人误以为它在"自动判断"。
Q:工具显示"7-24-25 不是勾股数组",但我课本里见过它?
7-24-25 确实是(7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²),工具列表里已收录。如果你看到不是,请刷新页面或清缓存。
Q:测验模式是怎么判对的?
工具随机抽一组勾股数,展示其中两边的乘积关系,要求你回答第三边;提交后与"三边中正确值"对比,容差 1e-3。
Q:网格法验证是怎么回事?
在方格纸上画一个 3×4 的直角三角形,用 1×1 的小方格数:横 3 × 纵 4 = 12 个方格的面积 = 长边 5 上正方形的面积 25。这就是欧几里得《几何原本》里的证法。
Q:为什么 3D 对角线用两次勾股?
先算底面"长 + 宽"的对角线 d = √(a²+b²),再算"d + 高"的对角线 √(d² + c²) = √(a² + b² + c²)。本质是同一公式套两次。